九九乘法表里的玄机。

　　九九乘法表二年级以上的小朋友都会背，可是这张表背后还蕴藏着它计算以外很多的玄机。这个其实是很多小朋友、很多家长都没有意识到的，今天帮助大家来看一看九九乘法表除了最基本的计算功能以外还能带来怎么样的惊喜。

　　九九乘法表二年级上学期就开始要求背了，背的过程当中第一个最基本的要求就是顺着背，就是要对它的结果要非常熟练。问3x7等于多少？5x7等于多少？能够脱口而出，当然这个是最基本的要求。它的作用是将来做多位数乘法的时候会不断地使用，所以它是将来运算乘法也好、除法也好的一个基石。没有它来做铺垫，以后的多位数的乘除法都没有办法进行。

　　·所以这是第一步。

　　·第二步要逆向使用它，就是问21等于多少乘多少？这是对它的更高一点的要求。为什么要有这样的要求？因为到了五年级在学因数的时候，分解质因数、因数和倍数都会用到，要学会去对它拆分、进行拆解。28就等于4乘以7，56等于7乘以8，这就是逆向使用它，给一个结果，要反过来写成多少乘多少，这是第二级的要求。

　　·第三级的要求就是里面开始找规律了。很多同学其实这部分没有意识到，所以大多数同学到第二层就结束了，对乘法表的理解就到这个程度。可是今天讲讲第三个程度的理解，这里面有大量的规律的存在。当然这个规律很多，今天举几个例子。

　　→第一个规律就是可以看到末尾多少乘多少。比如它的末尾如果是以1结尾，几十一，请问反过来去思考，在整张表里面去寻找多少乘多少等于1，会有多少种存在方式？这个时候其实就是在如何去找规律了，就引导孩子去往更深里去思考问题了。

　　这个问题怎么考虑？它的角度就是1作为一个奇数来讲，你会发现什么样的数相乘会得到奇数？只能是奇数乘以奇数。所以从奇偶数上也就是单双数上来考虑，你会可以锁定，把范围就直接锁定到1、3、5、7、9。因为但凡有偶数出现，任何一个数乘上偶数，肯定结果还是偶数，就不可能以1来结尾。

　　既然如此，那缩范围就缩小到这步了。假如其中一个是1，那么另外一个只能是1自己，1x1是可以的，1x3、1x5、1x7、1x9都是不可以的。找到一个，这也是最显然的一个。

　　还有没有其他的？假如其中一个是3，3可以跟谁？3可以跟7，那3x5=15、3x9=27都不可以，但是3可以跟7，也就是说它们是可以的。

　　5行不行？5其实5的倍数的特点是什么？它就是都是以要么乘以奇数就是以5结尾，要么乘以偶数就是以0结尾，所以都没有1结尾的。所以这个5虽然在奇数里面其实可以直接干掉了，直接排除掉不可能的。

　　所以剩下7，7刚才说了跟3是可以的，跟9是不行的，所以还是3乘以7。那么9是可以跟自己乘的，9x9对吧？但是它跟其他几个刚才看过了都是不可以的。

　　所以你看就这么一个简单的问题，其实你可以反过来想，你发现有三种情况，所以都藏在这张表里面对吧？它的就是引导孩子去反向的思考，去在大数据面前如何去寻找规律。

　　大家现在讲这个时代就是AI的时代，大数据的时代对吧？大数据这里面规律是怎么产生的？小学时候就引导他从大数据里面找规律，就是非常符合我们时代的潮流了。

　　再比如说我再问一个问题，这里面蕴藏的问题很多很多了，我随意举几个你们都是没有考虑过的。比如说乘法表的最边上的一斜，你会发现它们属于同一类，这一类叫做什么？这一类叫做平方数，它就是1x1，3x3什么叫平方数？如果二年级的小朋友可能学到这时候还不知道什么叫平方数，但是提前可以告诉他，就是自己乘自己，这样的乘法得到的结果就叫乘方平方数。

　　平方数的结尾发现一个特点，如果头顶上写个2叫做平方，其实就等于1，2的平方是4，3的平方是9，4的平方是16，末尾是6，5的平方末尾是5。现在观察一件事情，就是这些平方数的末尾数，14965，继续再写，如果写6的平方是36，它的末尾是6，7的平方49，末尾是9，8的平方64，末尾是4，9的平方末尾是181。

　　再总结一下规律，看看末尾是什么？1496好像跟这里是不是有点感觉很像？1496重合对了，会发现总共有10个数，0123456789这里占了6个，当然0的平方是0，假如也把0算上，剩下有几个数没有出现，分别是2378这四个数，这里面只有六个数，这四个数没有出现，这就意味着什么？

　　这就意味着任何一个平方数的末尾都不可能是以2378来结尾，因为什么？因为任何比如几十四，几十四乘上自己之后，也就是平方之后肯定是以6来结尾的，也就说平方数跟4的平方数结尾是一样的。所以任何一个无论多大的一个数，它的平方以后的个位数取决于它自己的个位数的平方，这样2378就永远不可能出现。

　　这就告诉我们，假如有个人说某某某的平方等于35148，那告诉他，如果是个整数，绝对不可能，因为不可能以8来结尾的，这就是一个很有意思的现象了。而且还有进一步的发现，会发现1结尾对应的两个数，1的平方、9的平方都是1结尾，它们一对一对的。这两个数是谁？1和9，以4来结尾，一个是2的平方，一个是8的平方，就是2和8。9结尾其实就是3和7，6结尾其实就是4和6。

　　发现这一组一组，它们是一个1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10，5自己加自己也是等于10，其实就是同一个数结尾，它们其实一对一对的，把它称之为互补，加起来凑10的刚好是凑10的两个数。

　　这样又找到了新的规律，在这里只是举几个简单的例子，只想告诉大家简简单单老祖宗留下的九九乘法表，这里面蕴含着很多玄机，大有乾坤，大家可以自己去挖掘。

　　比如再举几个例子，比如1x82x8一直到8x8，就这一行的结果，如果要你求这行所有的数的和是多少，小朋友们有没有什么巧妙的方法一下子就可以把它算出来？这就是九九乘法表里面的很多好玩的东西，只是给大家举几个例子。

　　这节课就讲到这里。