2026年2月9日随着金丽衢十二校高三第一次联考的结束，浙江上学期期末考试已告以段落，随着年假的到来，你是高兴呢还是高兴，毕竟有“不怕同学是学霸就怕同学放年假”的传说！

　　“优化试题呈现方式和素材选取，融入科技前沿动态，浸润人文教育元素，加强项目式、探究式的真实情境问题设计，更好考查学生关键能力、学科素养和思维品质。”这是国家教育部在今年的1号文件里的原话。从中你能获得到什么样的信息呢？刷题还有必要吗？

　　听说，台州也有参加金丽衢十二校高三联考的？是真的吗？

　　下面还是来看几道关键小题的解题思路吧！

　　第8题，排列组合问题，题的大意是有2个R（机器人）要穿插进4个G（歌舞类）中，要求2个R不能相邻，且前三个里至少有一个R，问不同的节目安排种类。

　　此问题等价于排除前三个节目全是歌舞的。四个歌舞节目G、G、G、G全排列有：A=24；两个机器人节目R、R插入5个空位（□G□G□G□G□）有：A2=20；则两个机器人节目插入四个歌舞类节目的总种类有AA2=480。而机器人仅插入后两个空位的有：AA2=48，故AA2-AA2=432，选C即是。

　　第14题，解析几何范围内将等比数列与解三角形融为一体，如下图，有A(a，0)，F(-c，0)，D(x，0)，B(x，y)。

　　由S、S、S成q为公比的等比数列，又S+S=S，则1+q=q2。

　　而S/S=DF/AD=1/q，即AD=qDF。

　　由D、F、A三点横坐标的关系有，AD=a-x，DF=c+x，即有(a-x)=q(c+x)，故x=(a-cq)/(1+q)。

　　又由射影定理知BD2=AD×DF，即y2=(a-x)(c+x)=(c+a)2q/(1+q)2。

　　而B(x，y)在椭圆x2/a2+y2/b2=1上，（a2-c2=b2、e=c/a），故有

　　(a-qc)2/［a2(1+q)2］+(a+c)2q/［b2(1+q)2］=1，化简……（太难了，我是进行不了了！你来整理吧！）

　　另解，建立以AF为直径的圆与椭圆相交的交点方程，利于韦达定理来解。

　　根据A(a，0)、F(-c，0)可知圆心坐标为((a-c)/2，0），圆半径为(a+c)/2，则圆的方程为(x+c)(x-a)+y2=0。

　　将其与椭圆方程x2/a2+y2/b2=1，即y2=(1-x2/a2)b2联立，得到关于x的一元二次方程：

　　(a2-b2)x2+a2(c-a)x-a3c+a2b2=0，即

　　c2x2+a2(c-a)x-a3c+a2b2=0。

　　由韦达定理，得(A、B或D的横坐标分别记为x、x，而x=a)：

　　xx=(a2b2-a3c)/c2，则有

　　x=(a2b2-a3c)/ac2。

　　另一方面，AF为圆的直径，有∠ABF=90°，而DB⊥AF，故△FBD∽△ABD∽△FBA，即有相似知识（或由三角形面积公式）可得：

　　q=S/S=AD/DF=(x-x)/(x-x)=(a-x)/(x+c)（注x为F的横坐标）。

　　将x2之值代入上式，结合离心率e=c/a，化简整理可得q=(2e-1)/(e-1)2。

　　另一方面，根据S、S、S成等比数列，有S2=SS=S(S+S)，即得q2=q+1。

　　令qe=t，即e=t/q，将其代入q=(2e-1)/(e-1)2，得到关于t的一元二次方程t2-(2q+2)t+(q2+q)=0，结合q2=q+1，有

　　t2-(2q+2)t+(q2+q)=0，即

　　t2-2(q+1)t+q(q+1)=0，即

　　t2-2q2t+q3=0。

　　利用求根公式，知

　　t=(2q2±√(4q-4q3))/2=q2±q，

　　t=q2-q=1，t=q2+q，

　　若t=q2+q=q(q+1)=qe，则e=q+1>1，不合题意，即舍去t，得t=1，即qe=1。

　　唉！终于得解了。有没有更简便的解法呢？欢迎评论区留言？

2026.2金丽衢十二校高三数学第一次联考试卷2026.2金丽衢十二校高三数学第一次联考参考答案与详解

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